Purdue的數學問題

Purdue大學的數學問題真的很有意思。這幾天也嘗試著去解一些。發現自己的水平確實比中學時有些退步，當然技術上有進步。不過我覺得它給出的解決方式有些問題（Fall 2011 problem1）。
http://www.math.purdue.edu/pow/
這個問題是：
Show that x^400+x^380+...+x^20+1 is divisible by x^20+x^19+...+x+1.

不過我想到的是，需要在複數域上面解決。因為只有在複數域上面才可以將多項式做完整的factorization，將多項式寫成product of lowest polynomials. 如果不是在複數域上面討論，它給出的解法就是不對的。
f(x)=x^400+x^380+...+x^20+1, g(x)=x^20+x^19+...+x+1.
f(x)=(x^420-1)/(x^20-1);  g(x)=(x^21-1)/(x-1);
Consider f(x)=0, x_n=cos(2n*Pi/420)+i sin(2n*Pi/420), where n=0,1,2,...,419.
              g(x')=0, x'_n=cos(2n*pi/21)+i sin(2n*Pi/21), where n=0,1,2,...,20.


since cos(2n*pi/21)+i sin(2n*Pi/21)= cos( 40n*Pi/420)+i sin(40n*Pi/420).


Therefore, g(x)|f(x).


因為，解題中沒有提到在複數域中解答，其實有些不好。