Purdue Problem of the week, Fall 2011 Problem 4

The problem 4 of 2011 fall is:

 Show that if: u(x)= Sum { x^(3k)}/{(3k)!};  

                     v(x)= Sum {x^(3k+1)}/{(3k+1)!};

                     w(x)=Sum {x^(3k+2)}/{(3k+2)!}; where k=0,1,2,3,...

then u^3+v^3+w^3-2uvw=1.

Let f(x) = u^3+v^3+w^3-2uvw, then consider f'(x).

f'(x)=3u'u^2+3v'v^2+3w'w^2-3u'vw-3uv'w-3uvw'.

It is easy to calculate u'=w, v'=u, w'=v. Therefore f'(x)=0,  that means f(x) is constant.

Because f(0)=1, so f(x)=1 for all value of x.

Purdue的數學問題

Purdue大學的數學問題真的很有意思。這幾天也嘗試著去解一些。發現自己的水平確實比中學時有些退步，當然技術上有進步。不過我覺得它給出的解決方式有些問題（Fall 2011 problem1）。
http://www.math.purdue.edu/pow/
這個問題是：
Show that x^400+x^380+...+x^20+1 is divisible by x^20+x^19+...+x+1.

不過我想到的是，需要在複數域上面解決。因為只有在複數域上面才可以將多項式做完整的factorization，將多項式寫成product of lowest polynomials. 如果不是在複數域上面討論，它給出的解法就是不對的。
f(x)=x^400+x^380+...+x^20+1, g(x)=x^20+x^19+...+x+1.
f(x)=(x^420-1)/(x^20-1);  g(x)=(x^21-1)/(x-1);
Consider f(x)=0, x_n=cos(2n*Pi/420)+i sin(2n*Pi/420), where n=0,1,2,...,419.
              g(x')=0, x'_n=cos(2n*pi/21)+i sin(2n*Pi/21), where n=0,1,2,...,20.


since cos(2n*pi/21)+i sin(2n*Pi/21)= cos( 40n*Pi/420)+i sin(40n*Pi/420).


Therefore, g(x)|f(x).


因為，解題中沒有提到在複數域中解答，其實有些不好。

度量——長度

長度的度量，讀數和單位的轉換是其中的難點。至于長度的認識卻不是很難理解，所以這里不再展開。

讀數：
讀數的時候要注意兩種情況：
讀數的時候，人很容易只是注意後面的讀數，而忘記了量度的時候，開始並不是0，上面的圖顯示的是開始是0，所以讀數就是2厘米。
但是如果開始的值不是0，而是1的時候，筆尖對應的應該就是3厘米處，那麼很多學生讀數的時候就會認為這支筆的長度是3厘米。這就是忘記了開始不是0的情況。