數列求和

兩個等差數列${a_n}, {b_n}$，已知$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}=\frac{7n+2}{n+3}$，那麼求$\frac{a_5}{b_5}$。
因為數列是等差數列，所以有$a_1+a_2+a_3+...+a_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5, b_1+b_2+b_3+...+b_9=\frac{9(b_1+b_9)}{2}=9b_5$。
那麼$\frac{a_5}{b_5}=\frac{9a_5}{9b_5}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_9}{b_1+b_2+b_3+...+b_9}=\frac{7\times 9+2}{9+3}=\frac{65}{12}$

在此過程中需要熟記一個等差中項公式：$a_m+a_n=a_{\frac{m+n}{2}}$。當然要 $a_{\frac{m+n}{2}}$是否存在與否是關鍵，如果$a_{\frac{m+n}{2}}$不存在，則需要對公式做一定的調適。當然定義這個$a_{\frac{m+n}{2}}$為中項也不失為一個很好的權宜之計。
在計算等比數列中也有類似的中項公式: $a_m \times a_n=(a_{\frac{m+n}{2}})^2$。靈活運用公式可以將計算簡單化，特別是在選擇題的計算中。