乘法 二

多位數相乘。


在學會了《乘法一 》中的多位數乘單位數的乘法之后，接下來就是學習多位數和多位數相乘。開始之前要掌握下面的一些東西。
如果我們按照13或者25個一數來數數。如果有10個13就會是130個，因為13×10=10×13，即是13個10，而13個10是130。同樣的道理，如果有100個25，因為25×100=100×25，而25個100結果是2500個。

也就是說，一個數(例如25)乘以10、20、30、40、......、100、200、......、1000、......的數就等于將這個數(例如上面提到的25)乘以1、2、3、4、......、1、2、......、1、......。然后在結果后面加上相應多個0。
例如：
25×100=2500；(因為25×1=25，100有兩個0)；
36×20=720，(因為36×2=72，20有一個0)；

回到多位數和多位數相乘中來。

和之前學習乘法一樣，多位數乘多位數，例如23×24，可以將24寫開來，24=20+4。更具上面提到的×20的規則，我們就可以利用之前學到的東西來計算多位數乘以多位數。

如：23×24可以分成23×20，23×4，將兩個結果相加就是23×24的答案。
將23×24寫成直式。
Step 1：

      計算23×4；
       1、4×3=12，記住進位1，個位數記2；
       2、4×2=8，加上進位，8+1->9，十位數記9；

Step 2：

      計算23×20；我們可以計算23×2，之后在結果補上一個0；
       1、2×3=6，沒有進位，十位數記6，(因為乘數2為十位數，所以要從十位數開始記數)；
       2、2×2=4，原來賣友進位，百位記4。

Step 3：計算加法，得到的結果為552
算法結束。
過程可以寫成：


其中92=23×4，460=23×20，其實書寫的時候，可以省略460中的0，可是需要書寫的時候字體很好。不然就很容易計算錯誤。

其他的多位數乘都是這樣做的。
下面利用《乘法一 》后面的那個例題可以得出很有趣的結果。
例如計算12345679×72：
直式結果是：

這個結果全部都是8，很有意思。如果你用12345679分別乘以18，27，36，45，54，63得到的結果是：
18->22222222,
27->33333333,
36->44444444,
45->55555555,
54->66666666,
63->77777777,
原因是：12345679×9=11111111.
這個是乘法中的一個規律，如果三個數相乘，可以將其中兩個數先乘，再和第三個數相乘。稱為結合率。

乘法一

在《乘法表背誦 》中提到，計算多位數乘法的時候，要將乘數寫開來。下面逐步介紹乘法的過程。

一、單位數相乘

遇到單位數相乘的情況，就可以按照乘法表中的結果寫出來。
例如：3×4=12，8×9=72.
這也是乘法的基礎，所以要熟悉乘法表。檢查乘法表是否熟悉，可以有以下幾個方法。
1、個是能否倒序背誦乘法表？
這是因為，順序背誦的時候，可能很多初次接觸乘法表的人可以發現，每個結果都是順序加一個乘數。倒序被要做的是減法，相對加法的運算難，所以可以檢驗乘法表是否熟悉。
2、明白兩個數相乘可以交換。
知道3×4=4×3，8×9=9×8這個道理。

二、多位數乘單位數

在《乘法表背誦 》中提到，如何將乘數寫開。
例如：計算13×4
其中13×4的意義是4個13，同時13=10+3，也就是說4個13就等于4個10加上4個3，寫成算式就是：

13×4=10×4+3×4

=40+12=52

和加法直式一樣，可以將乘法寫成直式：

 1 3
  × 4

那么計算的時候就這寫：

其中12=4×3，40=4×1。但是為了方便，我們寫十位的乘法的時候可以省略一個0，就是說可以寫成：

這就是多位數乘單位數的計算。其實計算中，乘以一個單位數不用勞師動眾地寫出加法的那一段，但是為了后面講述多位數乘多位數的方便才這樣寫。如果是乘以單位數，我們計算的時候只要記住進位，那么就可以很快地計算乘法。

例如剛才的例題的步驟就可以是：

Step 1：4×3=12，記住進位1，結果的個位數記2；

Step 2：4×1=4，加上剛才的進位，結果中的十位記4+1->5。

算法結束，結果為52。

例題：1)28×3； 2)345×6；

1) 28×3

寫出直式

Step 1：3×8=24，記住進位2，結果的個位數記4；

Step 2：3×2=6，加上進位2，結果中十位數記6+2->8;

算法結束，結果為84。即是28×3=84；

2) 345×6

寫出直式

Step 1：6×5=30，記住進位3，結果的個位數記0；

Step 2：6×4=24，加上進位3，24+3=27，記住進位為2，結果中的十位數記7；

Step 3：6×3=18，加上進位3，18+2=20，記住進位為2，結果中的百位數記0；

Step 4：沒有相乘，但是有進位，所以結果中的千位數記2.

算法結束，結果為2070

有興趣的人可以試一試計算這個式子：

12345679×9

結果將是很有意思的。

不定積分的例題

記得這是一般數學分析課本中的例題，用來講述如何通過變量代換求出不定積分。除了利用
x=t+(t^2+1)^(1/2)的代換之外，還可以利用三角函數代換。

1、用正切x=a tan t

解法如下：

（哈！居然輸入公式的時候出錯了。Then的那一行有點錯誤哦！）

2、利用雙曲代換，x=a sh t，解法如下：

可見兩個方法中，利用雙曲代換更為方便。