除法一

回到數數的情況，如果我們有20個物件要均勻分給4個人，那么我就要按4個一數，可以知道有5個4，因為5×4=20，這就是說除法是乘法的逆運算。寫作20÷4=5。

用一般的方法來寫，如果a、b分別表示一個數，用c表示a×b的結果，即是a×b=c。例如a表示4，b表示5，那么c就是20，剛才的除法就可以寫成c÷a=b，其中c叫做被除數，a叫做除數，c叫做商。

     c   ÷  a  =  b
    20   ÷  4  =  5
 被除數    除數     商
可是如果c個物件不能按照a個一數數盡，那么就會出現余數，用字母d表示。
例如c=21，a=4，那么按照4個一數，會多出一個，我們可以這樣寫：

     c   ÷   a  =  b  R   d
    21   ÷   4  =  5  R   1
 被除數     除數    商      余數

迷宮追及游戲

喜歡玩迷宮游戲的人可以試一試，你是否能夠快過電腦的速度。開始前仔細想一想還是很有意思的。
利用上、下、左、右四個鍵指示綠色的球球走到另外一個角落。如果是剛開始，可以選擇雙人游戲，熟悉之后可以和電腦比一比。下面有四個鍵，只要選擇1或者2就可以了，因為選擇第3或第4個會彈出廣告來，很煩的。

我的記錄是30分鐘去到19Level

井字過三關

井字過三關是一個很簡單的益智游戲。覺得可以鍛煉一些分析能力

乘法 二

多位數相乘。


在學會了《乘法一 》中的多位數乘單位數的乘法之后，接下來就是學習多位數和多位數相乘。開始之前要掌握下面的一些東西。
如果我們按照13或者25個一數來數數。如果有10個13就會是130個，因為13×10=10×13，即是13個10，而13個10是130。同樣的道理，如果有100個25，因為25×100=100×25，而25個100結果是2500個。

也就是說，一個數(例如25)乘以10、20、30、40、......、100、200、......、1000、......的數就等于將這個數(例如上面提到的25)乘以1、2、3、4、......、1、2、......、1、......。然后在結果后面加上相應多個0。
例如：
25×100=2500；(因為25×1=25，100有兩個0)；
36×20=720，(因為36×2=72，20有一個0)；

回到多位數和多位數相乘中來。

和之前學習乘法一樣，多位數乘多位數，例如23×24，可以將24寫開來，24=20+4。更具上面提到的×20的規則，我們就可以利用之前學到的東西來計算多位數乘以多位數。

如：23×24可以分成23×20，23×4，將兩個結果相加就是23×24的答案。
將23×24寫成直式。
Step 1：

      計算23×4；
       1、4×3=12，記住進位1，個位數記2；
       2、4×2=8，加上進位，8+1->9，十位數記9；

Step 2：

      計算23×20；我們可以計算23×2，之后在結果補上一個0；
       1、2×3=6，沒有進位，十位數記6，(因為乘數2為十位數，所以要從十位數開始記數)；
       2、2×2=4，原來賣友進位，百位記4。

Step 3：計算加法，得到的結果為552
算法結束。
過程可以寫成：


其中92=23×4，460=23×20，其實書寫的時候，可以省略460中的0，可是需要書寫的時候字體很好。不然就很容易計算錯誤。

其他的多位數乘都是這樣做的。
下面利用《乘法一 》后面的那個例題可以得出很有趣的結果。
例如計算12345679×72：
直式結果是：

這個結果全部都是8，很有意思。如果你用12345679分別乘以18，27，36，45，54，63得到的結果是：
18->22222222,
27->33333333,
36->44444444,
45->55555555,
54->66666666,
63->77777777,
原因是：12345679×9=11111111.
這個是乘法中的一個規律，如果三個數相乘，可以將其中兩個數先乘，再和第三個數相乘。稱為結合率。

乘法一

在《乘法表背誦 》中提到，計算多位數乘法的時候，要將乘數寫開來。下面逐步介紹乘法的過程。

一、單位數相乘

遇到單位數相乘的情況，就可以按照乘法表中的結果寫出來。
例如：3×4=12，8×9=72.
這也是乘法的基礎，所以要熟悉乘法表。檢查乘法表是否熟悉，可以有以下幾個方法。
1、個是能否倒序背誦乘法表？
這是因為，順序背誦的時候，可能很多初次接觸乘法表的人可以發現，每個結果都是順序加一個乘數。倒序被要做的是減法，相對加法的運算難，所以可以檢驗乘法表是否熟悉。
2、明白兩個數相乘可以交換。
知道3×4=4×3，8×9=9×8這個道理。

二、多位數乘單位數

在《乘法表背誦 》中提到，如何將乘數寫開。
例如：計算13×4
其中13×4的意義是4個13，同時13=10+3，也就是說4個13就等于4個10加上4個3，寫成算式就是：

13×4=10×4+3×4

=40+12=52

和加法直式一樣，可以將乘法寫成直式：

 1 3
  × 4

那么計算的時候就這寫：

其中12=4×3，40=4×1。但是為了方便，我們寫十位的乘法的時候可以省略一個0，就是說可以寫成：

這就是多位數乘單位數的計算。其實計算中，乘以一個單位數不用勞師動眾地寫出加法的那一段，但是為了后面講述多位數乘多位數的方便才這樣寫。如果是乘以單位數，我們計算的時候只要記住進位，那么就可以很快地計算乘法。

例如剛才的例題的步驟就可以是：

Step 1：4×3=12，記住進位1，結果的個位數記2；

Step 2：4×1=4，加上剛才的進位，結果中的十位記4+1->5。

算法結束，結果為52。

例題：1)28×3； 2)345×6；

1) 28×3

寫出直式

Step 1：3×8=24，記住進位2，結果的個位數記4；

Step 2：3×2=6，加上進位2，結果中十位數記6+2->8;

算法結束，結果為84。即是28×3=84；

2) 345×6

寫出直式

Step 1：6×5=30，記住進位3，結果的個位數記0；

Step 2：6×4=24，加上進位3，24+3=27，記住進位為2，結果中的十位數記7；

Step 3：6×3=18，加上進位3，18+2=20，記住進位為2，結果中的百位數記0；

Step 4：沒有相乘，但是有進位，所以結果中的千位數記2.

算法結束，結果為2070

有興趣的人可以試一試計算這個式子：

12345679×9

結果將是很有意思的。

不定積分的例題

記得這是一般數學分析課本中的例題，用來講述如何通過變量代換求出不定積分。除了利用
x=t+(t^2+1)^(1/2)的代換之外，還可以利用三角函數代換。

1、用正切x=a tan t

解法如下：

（哈！居然輸入公式的時候出錯了。Then的那一行有點錯誤哦！）

2、利用雙曲代換，x=a sh t，解法如下：

可見兩個方法中，利用雙曲代換更為方便。

乘法表背誦

背誦乘法表進一步學習數學的關鍵。在背誦之前要明白乘法的意義是什么。

回到數數的階段，當面對較少量的時候，我們可以很快完成而且保持正確性高。可是隨著量的增大，速度和正確性就很難得到保證。所以我們可以按照5個一數，或者3個一數等等。就是看要計算的物件到底有多少個5個，有多少個3個。在根據本來知道的結果（乘法表）找出總數有多少個。
例如有30個物件，如果按照5個一數，就會有6個5，記做5×6；如果按照3個一數，就會有10個3，記做3×10；
將一些基本的結果總結起來就形成了我們的乘法表：

1×1=1，
1×2=2，2×2=4，
1×3=3，2×3=6， 3×3=9 ，
1×4=4，2×4=8， 3×4=12，4×4=16，
1×5=5，2×5=10，3×5=15，4×5=20，5×5=25，
1×6=6，2×6=12，3×6=18，4×6=24，5×6=30，6×6=36，
1×7=7，2×7=14，3×7=21，4×7=28，5×7=35，6×7=42，7×7=49，
1×8=8，2×8=16，3×8=24，4×8=32，5×8=40，6×8=48，7×8=56，8×8=64，
1×9=9，2×9=18，3×9=27，4×9=36，5×9=45，6×9=54，7×9=63，8×9=72，9×0=81

但是問題接著是，如果現在有超過14個5，而乘法表中沒有5×14這個結果，怎么辦？
回憶在加法中，我們可以將14分成10+4，就是說有10個5之外還有4個5，10個5就是50，而4個5就是5×4=20，相加就是70。
所以出現乘法直式，但是簡單說就是將乘數寫開來，按照每個位數做乘法，將結果相加。這在后面提到。

回到乘法表的背誦中，我們要用最簡單的音節來讀。例如:
4×5=20，記做："4、5；20".
6×7=42，記做："6、7；4、2"，不要讀作：六乘以七得四十二
5×9=45，記做："5、9；4、5"

因為可以利用最短的音節背誦乘法表，可以讓我們實用中更快。檢查自己是否背熟了乘法表，可以檢查一下自己。例如12是哪兩個數相乘得到的？結果應該是：3，4；2，6；1，12；

算術加減的練習

在看完《算術加法心算基礎 一 》，《算術加法心算基礎二 》，《算術加法心算基礎三 》以及《算術減法基礎一 》，《算術減法基礎二 》，《算術減法 三 》之后。需要更多地了解數的一些性質。同時可以增加對于算術除了計算之外的興趣。^_^。

1、在橫線上面填上適當的數。

         (1)     9, 17, 8
                9, 16, 7
                4, __, 12
_______________________________

         (2)    16, 11, 5
                17, 9, 8
                __, 13, 7

2、下面的每個字母表示一個數字，剛好組成一個減法直式。請算一算，三個字母分別代表0～9中的哪一個？

         a b b b
      -   c c c
              a

3、計算1993+1992-1991-1990+1989+1988-1987-1986=（__）。

4、如果你懂得乘法，那么試一試計算：
1993+1992-1991-1990+1989+1988-1987-1986+...+9+8-7-6+5+4-3-2+1=（___）

5、按照規律填數字：

 (1) 2, 3, 5, 8, 12, __, __, 30, 38.

 (2) 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, __, 13, 12, __, __, 17,

 (3) 2, 4, 8,  __, 32.

6、從右手邊的數獨游戲中，選擇適合的級別并完成。


答案：
1、
(1)16；兩邊的數相加得到中間的數。
(2)20；左邊的數減去中間的數得到右邊的數。

2、
a=1，b=0，c=9；

3、8；
4、1993；
5、
(1)17，23；從第一數開始+2，+3，+4，+5...；
(2)10，15，14；過程是-1，+3，-1，+3...;
(3)16；加上自己得到下一個數。

算術減法 三

和快速直式加法一樣，減法運算也是可以按照從左到右的順序計算。

直式減法的時候，從左開始，我們對位相減，但是不是直接寫出結果，而是要判斷下一位數是否需要借位，如果需要就將結果減去1，否則就寫下當前位置的結果。如果當前位置為較大數減去較小數時，既可以將較小數+10減去較大數，也可以看兩個數相差多少，在根據合十法找他們的結果。
例如：當前位置為1-2，那么就可以用11-2=9記當前結果；或者考慮1和2相差1，合十法中1+9=10，所以結果為9。

例如：1）213-104； 2）325-226；

1）直式可以寫成：

  2 1 3
 - 1 0 4

Setp 1: 2-1->1，看下一個位數為1和0，同時1>0，不會產生借位。所以記1；
Step 2：1-0->1，看下一個位數為3和4，同時3<4，產生借位，所以1-1，記0；>9，（回憶13-4的結果）

最后結果為109

2）直式可以寫成：

  3 2 5
 - 2 2 6

Step 1： 3-2->1，看下一個位數為2和2，因為兩個數相等，所以要再看下一位數，為5和6，對前一位產生借位，所以結果要減去1，為0。不用記。
Step 2：2-2->0，看下一個位數為5和6，同時5<6，產生借位。所以0-1->9，記9；
Step 3：5-6->9，記9.

最后結果為99.