分數的加、減

在《分數約簡》中，我們可以知道，分數的加法是在分母相同的情況下，將分子相加，然后將結果化簡。例如：
從減法的道理可以知道：兩個加數a、b相加得到和數：c。即是a+b=c。那么就有等式c-a=b，c-b=a成立。
那么，分數的減法也是需要在分母相同的情況下將分子相減。就可以得到結果。
加法：

 　12   4    16
 　— + —  = —
   13   13   13

當然，數學的結果是要求簡化的，所以最後的結果應該是最間分數。同時小學階段的時候結果很多學校是不允許寫成假分數的，而中學則大多是可以的。
所以結果是：
小學：

  　 ３
　 １—
　　 13

中學：既可以是上式，也可是假分數。
減法：

 　12   4    8
 　— - —  = —
   13   13   13

寫成代數式就是：

 　a    b    c
 　— - — = —
   D    D    D

分數約簡的技巧

在分數約簡中，需要很快地判斷分子、分母的最大公約數。可是當我們不能一眼看出最大公因數的時候，我們需要一步一步地將分數約到最簡單，主要的方法就是利用小的數去試一試，看是不是分子、分母的公因數。下面給出一些判斷2、3、4、5、6、9的倍數的方法：
1、2的倍數：
如果一個數是2的倍數，那么這個數一定是一個偶數。

2、3的倍數：
如果一個數的各個位數相加，所得的數是3的倍數，那么這個數是3的倍數。
例如：1236，1+2+3+6=12，12是3的倍數，所以1236是3的倍數。

3、4的倍數：
如果一個數的最后兩位數是4的倍數，那么這個數是4的倍數。
例如：124，最后兩位數是24，是4的倍數，那么124是4的倍數。

4、5的倍數：
這個是最簡單的判斷，如果一個數的最后一位數是0或者5，那么這個數是5的倍數

5、6的倍數：
當然，如果一個數既是3的倍數，又是偶數，那么一定是6的倍數。

6、9的倍數：
和3的倍數相差不遠，如果一個數的各位位數相加的和是9的倍數，那么這個數是9的倍數。

其中要提醒的是，3和9的倍數的判斷是最后用的。呵呵
當然在判斷一個數是否是3或者9的倍數的時候，可以循環利用這個規則。例如：123456789，
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，如果你不知道45是不是9的倍數，循環利用規則：4+5=9，那么45是9的倍數，那么就可以知道123456789是9的倍數。

分數約簡

明白分數的意義之后，分數的加法就很容易明白，3個1/8就是3/8，也就是說：

可是我們仔細看著兩個圖：

可以發現，事實上兩個圖中的黑色部分是一樣大小的，那就是說，

原因是，如果將份數增大的同時，取得的份量也增大相應的倍數，那么分數的大小并不改變。簡單說：即是說將8元分成8份取走2份和將8元分成4份取走1分，得到的錢都是2元，大小并沒有改變。得到的錢還是8元里面的
也就是說每一個分數可以寫成很多相等的分數值，但是為了記數的簡便，我們選擇分母最小的那個數來表示相等的分數，即是最簡分數：也就是分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質（最大公因數為1）的分數。
例如在

中我們將選擇，1/2來表示。
那么在計算結果中如果遇到不是最簡分數的時候，我們需要約簡分數。方法就是用分子分母同時除以分子、分母的
最大公約數。例如：12和15的最大公約數是3，那么：

就可以得到最簡的分數。

分數

分數是用分式（分數式）表達成

在上式之中， b 稱為分母而 a 稱為分子，可視為某件事物分成 b 份中佔 a 分，讀作「 b 分之 a 」。中間的線稱為分線。有時人們會用a/b來表示分數。

用一個圓來表示整體1，如圖：

從圖中可以看到，這個圓分成了8份，那么每一份就是

既然1份就是，那么這個圖中：

黑色的部分就是

除法 二

《 除法一》計算除法對于很多人來說都是一件很困難的事情，原因就是如何很快地確定商是什么。其實這是有一定竅門的。例如計算：

很容易知道，21小于9的倍數和20小于9的倍數相差不遠。那么在試商的時候，可以先將21看作20，那么20×3=60最接近74，于是用3試。

得到的商是3，余數是11。
同樣的道理，如果除數是兩位數的情況，
1、同時個位數是1、2、3的情況，例如21，32，41等等，這時在試商的時候可以將除數的個位數看作零，也就是說：將21看作20，32看作30，41看作40來試商。
2、如果個位數是7、8、9的情況，例如27，48，59等等，這時在試商的時候可以將除數像四舍五入的方式對待來試商，也就是說：將27看作30，將48看作50，將59看作60。
在應用這些方法的時候，同時要知道余數永遠要小于除數！

等弧對等角的證明

在一個圓周上面，相等的弧長對應的圓周角相等。這個定理在初等幾何（圓）的證明中非常重要。

如圖：

我們知道，角A=角1+角2，角5=角1+角3+角2+角4，同時角1=角3，角2=角4.
所以角5=2×角A。
對于圖：

如果A移動到A'，那么角5=角1'+角3'-（角2'+角1'）。同樣可以得到，
角5=2×角A'。
所以可以得出：等弧所對應的圓周角相等。

橫式乘法一個技巧

在看這一篇內容的時候，希望學會乘法的計算法則，如參看《乘法一 》，《乘法 二 》和《乘法直式例題 》。下面結束的技巧是建基于對于乘法計算較熟練。



在介紹乘法的一些技巧之前，需要介紹乘法的一些法則。應該很容易理解：

1、乘法的交換律：

也就是說：兩個數相乘（如2×3）的結果的等于兩個數調換位置之后相乘的結果。

如：

4×5=5×4，12×14=14×12，234×13=13×234。



就是說，數數的時候，如果按照4個一數得到5個4（就是4×5），那么按照4個一數就一定會得到4個5（就是5×4）。


2、乘法的結合律：

所謂乘法結合率就是：如果出現三個或多個數連乘（如2×2×6）按照從左到右的計算順序所得到的結果和，先計算后兩個數的乘積，再和第一數相乘所得的結果相同。
也就是說：2×2×6=2×(2×6)。

如圖：利用上面的圖可以驗證結合律的正確性。

如果用字母(如a、b、c)表示一些數字，那么

交換律可以寫成：a×b=b×a。
結合律可以寫成：a×b×c=a×(b×c)

介紹完這些簡單的法則之后。回到乘法的技巧上面來。

在計算乘法的時候，我們知道：

2×5=10，25×4=100，125×8=1000，

那么我們盡量利用湊出整十，整百或者整千來。例如：
24×5=12×2×5=12×(2×5)=12×10=120.
75×8=(3×25)×(4×2)=3×(25×4)×2=3×2×(25×4)=6×100=600.
計算的時候當然不用寫這么長的步驟，例如觀察8×15，可以知道8=2×4，15=5×3，那么3×4=12，2×5=10.所以8×15=120.

這是很實用的技巧。

乘法直式例題

在《乘法 二 》中因為輸入和blogspot.com規定每個月上傳的圖片不能超過一定數量，所以比較少的例題。所以我覺得有必要在十月這里添加一些例題，從而使得想學乘法的同學可以掌握的更好。

但是前提就是，可以很好明白《乘法 二 》中的前幾個段中提到多位數乘以例如10、20、30、40、......、100、200、......、1000、......的數的結果。



這里的步驟不詳述，可以參看《乘法 二 》中的步驟。

1）

其中：57×3=171，57×20=1140。不時發現一些國際學校的同學，所用方法的計算順序和這里所說的不同，他們是先計算57×20=1140，再計算57×3=171。其實方法是一樣的，只是順序的不同。

2）


其中121×5=605，121×3=363.

如果是更多位數的數相乘，方法是一樣的。

除法一

回到數數的情況，如果我們有20個物件要均勻分給4個人，那么我就要按4個一數，可以知道有5個4，因為5×4=20，這就是說除法是乘法的逆運算。寫作20÷4=5。

用一般的方法來寫，如果a、b分別表示一個數，用c表示a×b的結果，即是a×b=c。例如a表示4，b表示5，那么c就是20，剛才的除法就可以寫成c÷a=b，其中c叫做被除數，a叫做除數，c叫做商。

     c   ÷  a  =  b
    20   ÷  4  =  5
 被除數    除數     商
可是如果c個物件不能按照a個一數數盡，那么就會出現余數，用字母d表示。
例如c=21，a=4，那么按照4個一數，會多出一個，我們可以這樣寫：

     c   ÷   a  =  b  R   d
    21   ÷   4  =  5  R   1
 被除數     除數    商      余數

迷宮追及游戲

喜歡玩迷宮游戲的人可以試一試，你是否能夠快過電腦的速度。開始前仔細想一想還是很有意思的。
利用上、下、左、右四個鍵指示綠色的球球走到另外一個角落。如果是剛開始，可以選擇雙人游戲，熟悉之后可以和電腦比一比。下面有四個鍵，只要選擇1或者2就可以了，因為選擇第3或第4個會彈出廣告來，很煩的。

我的記錄是30分鐘去到19Level

井字過三關

井字過三關是一個很簡單的益智游戲。覺得可以鍛煉一些分析能力

乘法 二

多位數相乘。


在學會了《乘法一 》中的多位數乘單位數的乘法之后，接下來就是學習多位數和多位數相乘。開始之前要掌握下面的一些東西。
如果我們按照13或者25個一數來數數。如果有10個13就會是130個，因為13×10=10×13，即是13個10，而13個10是130。同樣的道理，如果有100個25，因為25×100=100×25，而25個100結果是2500個。

也就是說，一個數(例如25)乘以10、20、30、40、......、100、200、......、1000、......的數就等于將這個數(例如上面提到的25)乘以1、2、3、4、......、1、2、......、1、......。然后在結果后面加上相應多個0。
例如：
25×100=2500；(因為25×1=25，100有兩個0)；
36×20=720，(因為36×2=72，20有一個0)；

回到多位數和多位數相乘中來。

和之前學習乘法一樣，多位數乘多位數，例如23×24，可以將24寫開來，24=20+4。更具上面提到的×20的規則，我們就可以利用之前學到的東西來計算多位數乘以多位數。

如：23×24可以分成23×20，23×4，將兩個結果相加就是23×24的答案。
將23×24寫成直式。
Step 1：

      計算23×4；
       1、4×3=12，記住進位1，個位數記2；
       2、4×2=8，加上進位，8+1->9，十位數記9；

Step 2：

      計算23×20；我們可以計算23×2，之后在結果補上一個0；
       1、2×3=6，沒有進位，十位數記6，(因為乘數2為十位數，所以要從十位數開始記數)；
       2、2×2=4，原來賣友進位，百位記4。

Step 3：計算加法，得到的結果為552
算法結束。
過程可以寫成：


其中92=23×4，460=23×20，其實書寫的時候，可以省略460中的0，可是需要書寫的時候字體很好。不然就很容易計算錯誤。

其他的多位數乘都是這樣做的。
下面利用《乘法一 》后面的那個例題可以得出很有趣的結果。
例如計算12345679×72：
直式結果是：

這個結果全部都是8，很有意思。如果你用12345679分別乘以18，27，36，45，54，63得到的結果是：
18->22222222,
27->33333333,
36->44444444,
45->55555555,
54->66666666,
63->77777777,
原因是：12345679×9=11111111.
這個是乘法中的一個規律，如果三個數相乘，可以將其中兩個數先乘，再和第三個數相乘。稱為結合率。

乘法一

在《乘法表背誦 》中提到，計算多位數乘法的時候，要將乘數寫開來。下面逐步介紹乘法的過程。

一、單位數相乘

遇到單位數相乘的情況，就可以按照乘法表中的結果寫出來。
例如：3×4=12，8×9=72.
這也是乘法的基礎，所以要熟悉乘法表。檢查乘法表是否熟悉，可以有以下幾個方法。
1、個是能否倒序背誦乘法表？
這是因為，順序背誦的時候，可能很多初次接觸乘法表的人可以發現，每個結果都是順序加一個乘數。倒序被要做的是減法，相對加法的運算難，所以可以檢驗乘法表是否熟悉。
2、明白兩個數相乘可以交換。
知道3×4=4×3，8×9=9×8這個道理。

二、多位數乘單位數

在《乘法表背誦 》中提到，如何將乘數寫開。
例如：計算13×4
其中13×4的意義是4個13，同時13=10+3，也就是說4個13就等于4個10加上4個3，寫成算式就是：

13×4=10×4+3×4

=40+12=52

和加法直式一樣，可以將乘法寫成直式：

 1 3
  × 4

那么計算的時候就這寫：

其中12=4×3，40=4×1。但是為了方便，我們寫十位的乘法的時候可以省略一個0，就是說可以寫成：

這就是多位數乘單位數的計算。其實計算中，乘以一個單位數不用勞師動眾地寫出加法的那一段，但是為了后面講述多位數乘多位數的方便才這樣寫。如果是乘以單位數，我們計算的時候只要記住進位，那么就可以很快地計算乘法。

例如剛才的例題的步驟就可以是：

Step 1：4×3=12，記住進位1，結果的個位數記2；

Step 2：4×1=4，加上剛才的進位，結果中的十位記4+1->5。

算法結束，結果為52。

例題：1)28×3； 2)345×6；

1) 28×3

寫出直式

Step 1：3×8=24，記住進位2，結果的個位數記4；

Step 2：3×2=6，加上進位2，結果中十位數記6+2->8;

算法結束，結果為84。即是28×3=84；

2) 345×6

寫出直式

Step 1：6×5=30，記住進位3，結果的個位數記0；

Step 2：6×4=24，加上進位3，24+3=27，記住進位為2，結果中的十位數記7；

Step 3：6×3=18，加上進位3，18+2=20，記住進位為2，結果中的百位數記0；

Step 4：沒有相乘，但是有進位，所以結果中的千位數記2.

算法結束，結果為2070

有興趣的人可以試一試計算這個式子：

12345679×9

結果將是很有意思的。

不定積分的例題

記得這是一般數學分析課本中的例題，用來講述如何通過變量代換求出不定積分。除了利用
x=t+(t^2+1)^(1/2)的代換之外，還可以利用三角函數代換。

1、用正切x=a tan t

解法如下：

（哈！居然輸入公式的時候出錯了。Then的那一行有點錯誤哦！）

2、利用雙曲代換，x=a sh t，解法如下：

可見兩個方法中，利用雙曲代換更為方便。

乘法表背誦

背誦乘法表進一步學習數學的關鍵。在背誦之前要明白乘法的意義是什么。

回到數數的階段，當面對較少量的時候，我們可以很快完成而且保持正確性高。可是隨著量的增大，速度和正確性就很難得到保證。所以我們可以按照5個一數，或者3個一數等等。就是看要計算的物件到底有多少個5個，有多少個3個。在根據本來知道的結果（乘法表）找出總數有多少個。
例如有30個物件，如果按照5個一數，就會有6個5，記做5×6；如果按照3個一數，就會有10個3，記做3×10；
將一些基本的結果總結起來就形成了我們的乘法表：

1×1=1，
1×2=2，2×2=4，
1×3=3，2×3=6， 3×3=9 ，
1×4=4，2×4=8， 3×4=12，4×4=16，
1×5=5，2×5=10，3×5=15，4×5=20，5×5=25，
1×6=6，2×6=12，3×6=18，4×6=24，5×6=30，6×6=36，
1×7=7，2×7=14，3×7=21，4×7=28，5×7=35，6×7=42，7×7=49，
1×8=8，2×8=16，3×8=24，4×8=32，5×8=40，6×8=48，7×8=56，8×8=64，
1×9=9，2×9=18，3×9=27，4×9=36，5×9=45，6×9=54，7×9=63，8×9=72，9×0=81

但是問題接著是，如果現在有超過14個5，而乘法表中沒有5×14這個結果，怎么辦？
回憶在加法中，我們可以將14分成10+4，就是說有10個5之外還有4個5，10個5就是50，而4個5就是5×4=20，相加就是70。
所以出現乘法直式，但是簡單說就是將乘數寫開來，按照每個位數做乘法，將結果相加。這在后面提到。

回到乘法表的背誦中，我們要用最簡單的音節來讀。例如:
4×5=20，記做："4、5；20".
6×7=42，記做："6、7；4、2"，不要讀作：六乘以七得四十二
5×9=45，記做："5、9；4、5"

因為可以利用最短的音節背誦乘法表，可以讓我們實用中更快。檢查自己是否背熟了乘法表，可以檢查一下自己。例如12是哪兩個數相乘得到的？結果應該是：3，4；2，6；1，12；

算術加減的練習

在看完《算術加法心算基礎 一 》，《算術加法心算基礎二 》，《算術加法心算基礎三 》以及《算術減法基礎一 》，《算術減法基礎二 》，《算術減法 三 》之后。需要更多地了解數的一些性質。同時可以增加對于算術除了計算之外的興趣。^_^。

1、在橫線上面填上適當的數。

         (1)     9, 17, 8
                9, 16, 7
                4, __, 12
_______________________________

         (2)    16, 11, 5
                17, 9, 8
                __, 13, 7

2、下面的每個字母表示一個數字，剛好組成一個減法直式。請算一算，三個字母分別代表0～9中的哪一個？

         a b b b
      -   c c c
              a

3、計算1993+1992-1991-1990+1989+1988-1987-1986=（__）。

4、如果你懂得乘法，那么試一試計算：
1993+1992-1991-1990+1989+1988-1987-1986+...+9+8-7-6+5+4-3-2+1=（___）

5、按照規律填數字：

 (1) 2, 3, 5, 8, 12, __, __, 30, 38.

 (2) 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, __, 13, 12, __, __, 17,

 (3) 2, 4, 8,  __, 32.

6、從右手邊的數獨游戲中，選擇適合的級別并完成。


答案：
1、
(1)16；兩邊的數相加得到中間的數。
(2)20；左邊的數減去中間的數得到右邊的數。

2、
a=1，b=0，c=9；

3、8；
4、1993；
5、
(1)17，23；從第一數開始+2，+3，+4，+5...；
(2)10，15，14；過程是-1，+3，-1，+3...;
(3)16；加上自己得到下一個數。

算術減法 三

和快速直式加法一樣，減法運算也是可以按照從左到右的順序計算。

直式減法的時候，從左開始，我們對位相減，但是不是直接寫出結果，而是要判斷下一位數是否需要借位，如果需要就將結果減去1，否則就寫下當前位置的結果。如果當前位置為較大數減去較小數時，既可以將較小數+10減去較大數，也可以看兩個數相差多少，在根據合十法找他們的結果。
例如：當前位置為1-2，那么就可以用11-2=9記當前結果；或者考慮1和2相差1，合十法中1+9=10，所以結果為9。

例如：1）213-104； 2）325-226；

1）直式可以寫成：

  2 1 3
 - 1 0 4

Setp 1: 2-1->1，看下一個位數為1和0，同時1>0，不會產生借位。所以記1；
Step 2：1-0->1，看下一個位數為3和4，同時3<4，產生借位，所以1-1，記0；>9，（回憶13-4的結果）

最后結果為109

2）直式可以寫成：

  3 2 5
 - 2 2 6

Step 1： 3-2->1，看下一個位數為2和2，因為兩個數相等，所以要再看下一位數，為5和6，對前一位產生借位，所以結果要減去1，為0。不用記。
Step 2：2-2->0，看下一個位數為5和6，同時5<6，產生借位。所以0-1->9，記9；
Step 3：5-6->9，記9.

最后結果為99.

算術減法基礎二

和加法一樣，減法的運算也是一樣的，就是按對應的位置相減。可是會出現較小的數減較大的數。例如：25-16中，個位數會出現是5-6。

這時候回憶加法中的進位，當兩個數相加產生進位之后，剩下的數會小于原來兩個相加的數，例如：9+6->5，因為產生了進位1，事實上的結果是15，但是15可以分成10和5，所以我們在個位記5，同時會在十位數的加法中增加進位。那么做減法運算的時候，過程就剛剛好反過來，當出現較小數減去較大數的時候，我們需要向高一位借。

例如：

1、現在做的是個位的減，當需要借位的時候，將向十位借。
如22-14的個位數減法中，2小于4，需要向22的十位借，即是將22分成10和12，而不是原來的20+2.

2、現在做的是十位的減，當需要借位的時候，將向百位借。

問題： 如果現在做的是百位的減，如果需要借位，那么將向____借？


當我們從高一位借位之后，我們就可以用大數減去較小的數了。如剛才的25-16中，個位向十位借位之后，將25分成10 和15，其中16依舊為10和6，那么所進行的運算就是：
個位：15-6=9
十位：10-10=0
所以結果就是09，但是計數的時候，數前面的零(0)是不用寫的。那么25-16的結果就是9.

直式計算：
在初學計算的時候，我們都是通過直式的計算來更好地理解減法的運算過程。

例如：(1)25-16, (2)205-24, (3)4028-2166

1)直式寫作：

 2 5
- 1 6

因為5小于6，向高一位借位，那么25分成10 和15，其中15-6=9，10-10=0。所以結果為9.

2）直式寫作：

 2 0 5
-   2 4

Step 1：因為5大于4，所以5-4->1，個位數記1；
Step 2：因為0小于2，所以向百位借位，得到10-2->8，十位數記8；
Step 3: 因為十位計算中，有向百位借位，所以2-1=1，1減去沒有（即是0），百位為1；
最后計算結果為：181；

3）直式寫作：

 4 0 2 8
- 2 1 6 6

Step 1：因為8大于6，所以8-6->2，個位數記2；
Step 2：因為2小于6，所以向百位借位，但是百位為0，向千位借位，得到12-6->6，剩下的9記在被減數中，十位數中記6；
Step 3：因為Step 2中有記下9，而9大于1，所以9-1->8，百位中記8；
Step 4：因為之前在千位有借位，所以4-1=3，3-2->1，千位記1；
最后計算結果為：1862.

算術減法基礎一

減法是加法的逆運算，也即是說。但我們知道一堆物件的數量的前提下，我們需要比所需要的較少的量，那么我們可以從物件堆裏面拿掉一些，得到我們需要的數量。
例如：我們有一箱蘋果，總共25個。現在我們需要23個蘋果來分給同學，那么我們如果從箱子裏面一個一個地數，那么就需要數23下。但是，當我們知道，25減掉2得到23時，我們所需要的計算就是2下，所以我們就需要學習減法的運算。

減法中需要知道的一些基本的結果是：

1-1=0, 2-1=1, 3-1=2, 4-1=3, 5-1=4, 6-1=5, 7-1=6, 8-1=7, 9-1=8；

2-2=0, 3-2=1, 4-2=2, 5-2=3, 6-2=4, 7-2=5, 8-2=6, 9-2=7;

3-3=0, 4-3=1, 5-3=2, 6-3=3, 7-3=4, 8-3=5, 9-3=6;

4-4=0, 5-4=1, 6-4=2, 7-4=3, 8-4=4, 9-4=5;

5-5=0, 6-5=1, 7-5=2, 8-5=3, 9-5=4;

6-6=0, 7-6=1, 8-6=2, 9-6=3;

7-7=0, 8-7=0, 9-7=2;

8-8=0, 9-8=1;

9-9=0;

上面的一些結果是基礎的。在介紹有借位的減法的之前，需要記住下面一些關系。
哪兩個數相加的結果等于10？

1->9, 2->8, 3->7, 4->6, 5->5;

9->1, 8->2, 7->3, 6-4>;

在下一節中將介紹有借位減法

算術加法心算基礎三

下面將介紹一個比較快速的算術加法，按照人們的閱讀習慣從左到右進行加法運算，前提要熟悉《算術加法心算基礎 一》 的那個圖表，以及看一看。《算術加法心算基礎二》 的加法介紹。

在直式計算中，從左到右按對應的位置按照圖表中的規則相加，但是不是馬上寫上結果，而是要看下一個位置的相加會不會產生進位，當有進位的時候就要在當前位置上面加上，否則就按照圖表中的規則寫上數字，需要記得的特別情況就是當下一個位置相加為9的時候，需要判斷再下一位是否產生進位。

例如： (1)245+374，(2)3746+2263；
(1)直式寫作：

  2 4 5
 + 3 7 4

Step 1：2+3->5，下一個位數中4+7->1產生進位，算到5中得到6。
Step 2: 4+7->1，下一個位數中5+4->9沒有進位，得到的結果1。
Step 3：5+4->9，結束算法。
那么結果就是：619。

(2)直式寫作

 3 7 4 6
+ 2 2 6 3

Step 1：3+2->5，下一個位數中7+2->9，為9，要看下一個位數4+6->0產生進位，會對Setp 1產生進位，得到結果為 6。
Step 2：7+2->9，下一個位數中4+6->0產生進位得到結果為 0。
Step 3：6+4->0，下一個位數中6+3->9沒有進位得到結果為0。
Step 4：6+3->9，結束算法。

一般來說，按照這樣的計算是可以更快的。因為得出結果的順序為和人么閱讀的順序相同。

算術加法心算基礎二

算術加法中，加法是二元運算（就是符號‘+’是關于兩個數的運算），所以在開始的時候，有加法直式和橫式之分。在開始學習加法的階段，可以先學習直式。
對于有左手、右手不同握筆習慣的人，可以選擇從左到右，或者從右到左的不同算法。總體來說從右到左是一般的方式，而從左到右則是較為快速的方法。下面介紹從右到左的直式加法。另外一種方法將在下一篇文章中講述。

1、加法的原意：
在人們開始數數的時候，為了更快完成數數，會將要數物件分開幾份，分給不同的人數。最后只要將這幾個人數得的數目相加，就可以知道原來有多少。同時，我們記數的時候使用阿拉伯數字，所以可以將一個數字分成整十、整百或者整千。例如：

123可以分成100，20和3；

2345可以分成2000，300，40和5；

1020可以分成1000，20；

個位數相加會是：

1+1=2，2+4=6，5+3=7等等

整十加整十得到的是整十，例如：

10+20=30，20+30=50，30+40=70等等

整百加整百得到整百，例如：

100+100=100，200+300=500等等

就是說，如果我們將相同位置（同為個位、十位或者百位）的數相加就會像個位數相加相似。但是在兩個個位相加的時候，會出現得到不是個位的情況。例如：

4+7=11，5+8=13，9+9=18等等

那么我們就會將結果中的超過或等于10的整十分到整十的分類中去加，這個就是我們通常說的進位。下面演示如何計算加法。

例如計算：(1) 23+15，(2)54+27，(3)36+64

(1): 23分成20 和 3，15分成10和5，那么23+15就是20+10=30和3+5=8，將30和8結合起來就得到就是38。直式寫作:

  2 3
+ 1 5
 3 8

(2)：54+27直式寫作：

  5 4
+ 2 7

從右到左分別是4+7->1，得到的一個進位要算到5+2->7中，即是7+1->8。所以結果是81

  5 4
+ 2 7
 8 1

(3):在36+64中，6+4->0，得到進位算到6+3->9中，9+1->0得到進位，算到更高位數(百位) 。所以直式可以寫為：

  3 6
 + 6 4
1 0 0

更多位數的兩個數相加就可以這樣一直算下去。

算術加法心算基礎 一

加法的計算中，最基本的計算就是九個數的加法，而我們需要記住的一個要點就是兩個對應位置(個位和個位，十位和十位，百位和百位等等)相加的時候得到的最后一個位數數字是什么，就是說在計算中不用關心進為的問題。例如：


至于進位的問題，只要默記在心中。

Linux的新玩法

Linux的一个新玩法：

Mandriva Linux 2007 Metisse Pager
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直线和园

在一般的眼里，直和园是不相同的。但是在数学的观点上面，两者在一定的分支上面是可以相通的。

正如在复分析中的直线就是一个半径无限大的园。记得在中学物理上面的一些问题，当我们要计算一根通电导线的周围的磁场的时候，总要假设这根直导线是无限长的，就是这个道理。
而在复分析中，因为平面可以通过一个解释映射应到一个去了极点的圆球上面，而平面上面的直线就对应了上面的封闭曲线。

部分统计和全局统计的不同

假设要对两个集体进行比较，如果A集体的每一项数据的统计都比B集体的数据好。那么在我们通常的认识中，A集体的整体表现的统计一定是可以比B好的。但是事实并不一定是这样的。
可以在一次测试中，集体派A，B分别派出100人参加测评。
A中60%的男生及格，女生有40%。
B中有57%的男生及格，女生有36%。
显然A中的每一项的数据都高于B，但是整体上的统计会出现B优于A的情况。例如：A中有男，女生各50人。B中有男生70人，女生30人。那么整体的统计会是：
A的及格率是：(50×60%＋50×40%)/100=50%
B的及格率是：(70×57%+30×36%)/100=51%
结果是A的及格率高于B，所以在看一些统计数据的时候不能单纯地看它的比例高低，还要看它的基数是多少。正如看一个国家的经济增长率的时候，不仅要关心率的大小，还要看它所代表的数据的大小。

中国足球

前几天，我在网上看到了这样一段的新闻：


突然我发现，当我们的女足在成长的时候，为什么我么的男足就是这样不争气。记得在这个新闻之前看到的比赛。真的为那些没有眼光的赞助商可惜。同时为什么当我们看到这样差的足球队的时候，我们还是对他们充满了不切实际的期望。难道我们的重男轻女的观念真的是那么无孔不入？抑或是我们男人们的自尊太脆弱。但是，在我的观点看来一个球队的水平并不能代表什么。有一些人将一个小群体的成绩看成是全体人的成绩，那么就会容易让我们自己觉得满足了。就像很多人在看过对一些国人的良好表现的纪录片的时候，就会觉得他们也是这样的。这难道就不是自欺欺人的吗？
或是另外一个观点就是，国人中的男性只能在个人项目中取得好成绩，而在群体的项目中是不应该被看好的。

Mathematics

I am going to post so topic about math.